Matemática para Ingenieros

Docentes: Dr Antonio Orlando
Duración: 60 horas.

Objetivos

  • Desarrollar metodologías para la modelación matemática vía ecuaciones diferenciales de problemas reales.
  • Discutir propiedades matemáticas de las ecuaciones diferenciales y presentar algunas técnicas de solución analítica.
  • Interpretar los resultados en el contexto del problema real original.

Contenido detallado

  • Principios de la modelación matemática. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y en derivadas parciales (EDP). Problema al contorno y de valores iníciales. Significado de la solución de una ecuación. Definición de problema bien puesto y de problema mal puesto.
  • EDOs de primer orden reducidas en forma normal. Teorema de existencia local de la solución y de su unicidad. Teorema de punto fijo de Banach. Método de las aproximaciones sucesivas. Teorema de existencia local de la solución. Teorema de punto fijo de Schauder. Máximo intervalo de existencia. Lema de Gronwall. Implicaciones numéricas.
  • Solución general y particular. Soluciones definidas implícitamente. Teorema de las funciones implícitas.
  • Métodos de soluciones de EDOs del primer orden.
  • EDOs lineales con coeficientes constantes.
  • EDOs lineal del segundo orden a coeficientes variables. Clasificación de las singularidades.
  • Soluciones en forma de series de potencias.
  • Método de Frobenius. Funciones especiales (Airy, Bessel, Legendre).
  • Introducción a la EDP. Ejemplos. Clasificación. Solución de una EDP. Condiciones adicionales.
  • Problema de Cauchy. Ejemplo de Hadamard sobre la inestabilidad del problema de Cauchy per la ecuación de Laplace. Implicancias numéricas.
  • EDP de primer orden. Método de las características para la ecuación de transporte semilineales, cuasilineales y non lineales
  • Ecuación de Burger. Curvas características divergentes y secantes. Formación de shocks.
  • EDP de segundo orden. Clasificación: Ecuaciones elíptica, parabólica y hiperbólica.
  • Método de separación de variables.
  • Problemas regulares y singulares de Sturm-Liouville.
  • Método de las expansiones en autofunciones.
  • Ecuación del calor en una dimensión.
  • Ecuación de la onda en una dimensión.
  • Ecuación de Laplace en dos dimensiones en coordinadas cartesianas.
  • Ecuación de Laplace en dos dimensiones en coordinadas polares.
  • Funciones armónica. Propiedades. La fórmula de la integral de Poisson. Principio del máximo.
  • Ecuación non homogénea.

Bibliografía

  • W. E. Boyce, R. C. DiPrima: Elementary Differential Equations, Wiley; 10th Ed, 2012
  • E. A. Coddington: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias, CECSA, 1968
  • S. Salsa, F. M. G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino: A Primer on PDEs: Models, Methods, Simulations, Springer-Verlag Italia, 2013
  • Antonio Orlando. Apuntes del curso.